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Theses Year : 2022

Some existence results for systems of phase transition type

Quelques résultats d'existence pour des systèmes du type transition de phase

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Ramon Oliver Bonafoux

Abstract

In this thesis, we prove several new existence results for gradient systems of phase transition type. Besides mathematics, these systems are also of interest in mechanics, material sciences as well as biology and population dynamics. In Chapter 1, we give a general introduction on the subject and describe the historical context of this thesis. Chapter 2 contains some results regarding the existence of non-minimizing connecting orbits for multi-well systems. In Chapter 3, we prove the existence of heteroclinic traveling wave solutions for two-dimensional parabolic Allen-Cahn systems. The main novelty of these solutions is that their speed of propagation is positive and they connect at infinity heteroclinic orbits with different energy. In Chapter 4, we focus on the problem of existence of heteroclinic traveling waves for parabolic gradient systems in one space dimension. These traveling waves have been shown to exist in several previous works, under non-degeneracy assumptions on the minimizers of the potential. The methods developed in Chapter 3 allow, as a byproduct, to revisit this problem and treat some situations in which the minimizers are degenerate. All proofs are based on the use of techniques from the calculus of variations.
Dans cette thèse, nous démontrons quelques nouveaux résultats d'existence pour des systèmes gradient du type transition de phase. Autre qu'en mathématiques, ces systèmes sont aussi importants en mécanique, sciences des matériaux ainsi qu'en biologie et dynamique des populations. Dans le Chapitre 1, nous introduisons le sujet et décrivons le contexte historique de cette thèse. Nous donnons aussi une description brève des résultats de cette thèse ainsi que quelques perspectives de recherche. Le Chapitre 2 contient quelques résultats d'existence des orbites de connexion non-minimisantes pour des systèmes de type multi-puits. Dans le Chapitre 3, nous démontrons l'existence des ondes progressives pour des systèmes Allen-Cahn paraboliques en dimension deux. La nouveauté principale de ces solutions est que leur vitesse de propagation est strictement positive et qu'elles connectent à l'infini des orbites héteroclines avec des énergies différentes. Dans le Chapitre 4, on considère le problème d'existence des ondes progressives hétéroclines pour des systèmes gradient paraboliques en dimension un. Ces ondes progressives ont été établies dans plusieurs travaux précédents, sous des hypothèses de non-dégénérescence sur les minimiseurs du potentiel. Les méthodes développées au Chapitre 3 permettent de revisiter ce problème et de traiter certaines situations où les minimiseurs sont dégénérés. Toutes les preuves sont basées sur l'usage des techniques du calcul des variations.
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Dates and versions

tel-03879453 , version 1 (30-11-2022)

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  • HAL Id : tel-03879453 , version 1

Cite

Ramon Oliver Bonafoux. Some existence results for systems of phase transition type. Analysis of PDEs [math.AP]. Sorbonne Université, 2022. English. ⟨NNT : 2022SORUS293⟩. ⟨tel-03879453⟩
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