Analysis on fractals and applications
Analyse sur les fractales et applications
Résumé
This thesis explores the theory and applications of analysis on fractals. In the first chapter, we present the general theory, in particular, the specific differential operators on a particular class of these singular objects (p.c.f. sets, i.e., finite post-critical: Laplacian, normal derivative. In the second chapter, numerical methods are introduced for solving partial differential equations on these objects.Two methods are exposed: the finite difference method and the finite volume method.The third chapter deals initially with the problem of finding the extrema of a function, defined on a singular/fractal object, and obtaining a result analogous to Fermat’s rule; secondly, we solve, theoretically and numerically, a problem of optimal control of the heat equation. Chapter four is a brief introduction to the theory of PDEs on domains with a fractal boundary . In the particular case of the Poisson equation, we prove the existence and uniqueness of solutions. We also present the associated numerical solution. The last chapter presents new perspectives of research, where we plan to apply the Krein-Feller-Stieljes theory to the financial Black-Scholes model, in the case of self-similar measures. Our results show, in particular, that the new self-similar model thus obtained does not overestimate the price of options at the money (i.e., when the options begin to have a certain intrinsic value).
Cette thèse explore la théorie et les applications de l’analyse sur les fractales. Dans le premier chapitre, on présente la théorie générale, en particulier, les opérateurs différentiels spécifiques sur une classe particulière de ces objets singuliers (ensembles p.c.f., i.e., post-critiques finis : laplacien, dérivée normale). Dans le second chapitre, on introduit des méthodes numériques pour la résolution des équations aux dérivées partielles sur ces objets. Deux méthodes sont exposées : la méthode des différences finies et la méthode des volumes finis. Le troisième chapitre traite dans un premier temps du problème de la recherche des extremas d’une fonction, définie sur un objet singulier/ fractal, et l’obtention d’un résultat analogue à la règle de Fermat; dans un second temps, nous résolvons, sur le plan théorique, et numérique, un problème de contrôle optimal de l’équation de la chaleur. Le chapitre quatre est une brève introduction à la théorie des EDP sur des domaines à frontière fractale. Dans le cas particulier de l’équation de Poisson, nous démontrons l’existence et l’unicité des solutions. Nous présentons également la solution numérique. Le dernier chapitre présente de nouvelle pistes de recherche, pour appliquer la théorie de Krein-Feller-Stieljes au modèle de Black-Scholes, dans le cas de mesures auto-similaires. Nos résultats montrent, en particulier, que le nouveau modèle auto-similaire ainsi obtenu ne surestime pas le prix des options at the money (i.e., lorsque les options commencent à avoir une certaine valeur intrinsèque).
Origine : Version validée par le jury (STAR)