Developping a fragment-based Quantum Monte Carlo method for large systems
Développement d’une méthode Monte Carlo quantique à fragments pour de grands systèmes
Résumé
Monte Carlo methods are widely employed in many domains for their ability to explore a high-dimensional configuration space without prior knowledge. However, for extensive physico-chemical systems, the increase of statistical fluctuations on extensive properties multiplies the computational cost by a factor between O(N) and O(N³). In this thesis, we present a general method to reduce the scaling of those fluctuations for local extensive properties without introducing any bias. This method, which we call Partition Monte Carlo (PMC), is based on the "divide and conquer" strategy, and relies on three key ideas: a partition of our system into fragments; lateral subsampling on those fragments at a low computational cost (using a matricial reduction method); and an improved estimator using those subsamplings. We present the application of this general method to the variational Monte-Carlo method (VMC) on the 2D Hubbard model. We reach an efficiency gain scaling as O(N) even for a metallic wave function. We then provide a theoretical extension of the PMC method for more complex extensive properties, through the construction of improved estimators for generalised covariances.
Les méthodes de Monte Carlo sont largement employées dans de nombreux domaines pour leur capacité à explorer un espace configurationnel de haute dimensionnalité sans connaissances préalables. Cependant, pour des systèmes physico-chimiques extensifs, la croissance des fluctuations statistiques sur des propriétés extensives multiplie le coût de calcul par un facteur allant de O(N) à O(N³). Dans cette thèse, nous présentons une méthode générale pour réduire le scaling de ces fluctuations pour des propriétés extensives locales sans introduire de biais. Cette méthode, que nous appelons Monte Carlo Partitionnelle (PMC), se base sur le principe de "diviser pour régner", et met en jeu trois idées-clés : la partition de notre système en fragments ; des sous-échantillonnages sur ces fragments à faible coût (avec une méthode de réduction matricielle) ; ainsi qu’un estimateur amélioré se servant de ces sous-échantillonnages. Nous présentons l'application de cette méthode générale à la méthode de Monte-Carlo Variationnelle (VMC) sur le modèle de Hubbard. Nous obtenons un gain en efficacité en O(N) même pour une fonction d'onde métallique. Dans un second temps, nous étendons la méthode PMC de manière théorique pour le calcul de propriétés extensives plus complexes, en construisant des estimateurs améliorés pour des covariances généralisées.
Origine : Version validée par le jury (STAR)