The charged Klein-Gordon equation in the De Sitter-Reissner-Nordström metric

L'équation chargée de Klein-Gordon en métrique de De Sitter-Reissner-Nordström

Nicolas Besset (1)

1 IF - Institut Fourier

In this thesis, we study the charged Klein-Gordon equation in the exterior De Sitter-Reissner-Nordström spacetime. We first show decay in time of the local energy by means of a resonance expansion of the local propagator. Then we construct a scattering theory for the equation and give a geometric interpretation in an extended spacetime of asymptotic completeness in terms of traces at horizons. Exponential decay of local energy for solutions of the wave equation in this extension up to and through horizons is obtained harmonic by harmonic. We next turn to a numerical study of an abstract Klein-Gordon type equation and introduce a scheme which approximate solutions up to an error we can control. Finally, we propose a numerical method to localize low frequency resonances.Many results in the thesis are prerequisite to the construction of the Unruh state satisfying the Hadamard property for the charged Klein-Gordon equation in the De Sitter-Reissner-Nordström spacetime.

Dans cette thèse, nous étudions l'équation chargée de Klein-Gordon dans l'espace-temps extérieur de De Sitter-Reissner-Nordström. Nous montrons en premier lieu la décroissance en temps de l'énergie locale aux moyens d'une expansion en termes de résonances du propagateur local. Nous construisons alors une théorie de la diffusion pour l'équation et donnons une interprétation géométrique dans un espace-temps étendu de la complétude asymptotique en termes de traces aux horizons. La décroissance exponentielle de l'énergie locale pour les solutions de l'équation d'onde dans cette extension jusque et au travers des horizons est obtenue harmonique par harmonique. Nous considérons ensuite une étude numérique d'une équation de type Klein-Gordon et introduisons un schéma qui approche les solutions avec une erreur que l'on peut contrôler. Finalement,nous proposons une méthode numérique pour localiser les résonances à basse fréquence.Beaucoup de résultats dans cette thèse sont des prérequis à la construction de l'état de Unruh satisfaisant la propriété de Hadamard pour l'équation de Klein-Gordon chargée dans l'espace-temps extérieur de De Sitter-Reissner-Nordström.

Mots clés: Pde; General Relativity; Scattering; Resonances

Mots clés: Edp; Relativité Générale; Diffusion; Résonances

Domaines: Mathématiques générales [math.GM]

Nicolas Besset. The charged Klein-Gordon equation in the De Sitter-Reissner-Nordström metric. General Mathematics [math.GM]. Université Grenoble Alpes, 2019. English. ⟨NNT : 2019GREAM059⟩. ⟨tel-02944782⟩