AUGMENTED VALUATION AND MINIMAL PAIR

VALUATION AUGMENTÉE ET PAIRE MINIMALE

Michel Vaquié (1)

1 IMT - Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219

Let (K, ν) be a valued field, the notions of augmented valuation, of limit augmented valuation and of admissible family of valuations enable to give a description of any valuation μ of K[x] extending ν. In the case where the field K is algebraically closed, this description is particularly simple and we can reduce it to the notions of minimal pair and pseudo-convergent family. Let (K, ν) be a henselian valued field and ν ̄ the unique extension of ν to the algebraic closure K ̄ of K and let μ be a valuation of K[x] extending ν, we study the extensions μ ̄ from μ to K ̄[x] and we give a description of the valuations μ ̄i of K ̄ [x] which are the extensions of the valuations μi belonging to the admissible family associated with μ.

Soit (K,ν) un corps valué, les notions de valuation augmentée, de valuation augmentée limite et de famille admise de valuations permettent de donner une description de toute valuation μ de K[x] prolongeant ν. Dans le cas où le corps K est algébriquement clos cette description est particulièrement simple et nous pouvons la réduire aux notions de paire minimale et de famille pseudo-convergente. Soient (K, ν) un corps valué hensélien et ν ̄ l’unique extension de ν à la clôture algébrique K ̄ de K et soit μ une valuation de K[x] prolongeant ν, nous étudions les extensions μ ̄ de μ a` K ̄[x] et nous donnons une description des valuations μ ̄i de K ̄ [x] qui sont les extensions des valuations μi appartenant a` la famille admise associée a` μ.

Keywords: valuation; extension; famille admise; paire minimale; Mars 2021. 1991 Mathematics Subject Classification. 13A18 (12J10 14E15) valuation

Domains: Mathematics [math]; Algebraic Geometry [math.AG]; Mathematics [math]; Commutative Algebra [math.AC]

Michel Vaquié. VALUATION AUGMENTÉE ET PAIRE MINIMALE. 2021. ⟨hal-02565309v2⟩