, ) si f n'appartient pasà? C , il existe ? 1 tel que pour tout ? > ? 1 nous avons µ ? (f ) = µ(r ? )
, si f appartientà? C , il existe ? 1 tel que pour tout ? > ? > ? 1 nous avons µ ? (f ) ? µ(r ? ) < µ ? (f )
, 1) Si f n'appartient pasà? C , il existe ? 1 tel que pour tout ? > ? > ? 1 nous avons µ(r ? ) = µ(r ?
, nous avons l'égalité µ ? (f ) = µ ? (f ), et de plus le polynôme f n'est pas µ ? -divisible par ? ? , d'où l'égalité µ(r ? ) = µ ? (f )
, 1 tels que pour tout ? ? ? [f ] nous ayons l'égalité µ ? (f ) = ? [f ] + v [f ] ? ? . Pour tout ? ? ?, le polynôme ? ? est un polynôme-clé pour la valuation µ ? , par conséquent nous avons µ ? (f ) ? µ(r ? ), de plus pour ? < ? nous avons l'inégalité µ ? (f ) < µ ? (f ), par conséquent f est µ ? -divisible par ? ? d'où l'inégalité µ(r ? ) > µ ? (f )
, Si le groupe des valeurs ? ne possède de pas de plus petitélément strictement positif, c'est-à-dire si le sous-groupe isolé minimal de ? n'est pas discret, il existe ? 1 tel que pour tout ? ? ? 1 nous avons µ ? (f ) = µ
, Grâce au lemme 1.17 de [Va 1] nous pouvons choisir la famille C de telle façon que toute valeur de ? supérieureà µ ? (f ) soit atteinte par µ ? (f )
, Nous avons vu qu'il estéquivalent de se donner une famille pseudo-convergente (a ? ) ??A polynômes ? ? qui la définissent sont de degré un, c'est-à-dire sont de la forme ? ? = x?a ?
, Nous déduisons alors de ce qui précède le résultat suivant
, Soit (a ? ) ??A une famille pseudo-convergente d'éléments de K, et soit f un polynôme de K[x], alors il existe ? 1 tel que pour tout ? > ? > ? 1 nous avons : (1) si f n'appartient pasà? C, vol.6
, L )/(K, ?) telles que les extensions de groupes ? ? L /? ? et les extensions résiduelles ? ? L /? ? soient triviales. Nous remarquons d'abord que d'après la proposition 2.5 si µ est une valuation bien spécifiée de K(x) vérifiant ? ? = ? µ l'extension résiduelle ? µ /? ? est de degré de transcendance un, en particulier n'est pas triviale. Par conséquent les extensions monogènes immédiates (L, ? L ) de (K, ?) sont définies soit par des pseudo-valuations, c'est le cas d'une extension algébrique L de K, Nous considérons maintenant un corps valué (K, ?) et nous voulonsétudier ses extensions immédiates, c'est-à-dire les extensions de corps valués
, ) est une extension immédiate monogène de (K, ?), la famille admise A associéeà la valuation ou pseudo-valuation µ de K[x] définie par ? L est de la forme suivante : (1) si L est une extension transcendante pure, L = K(x), la famille A est une famille admissible continue C = µ ? ??A telle que les polynômes ? ? sont de degré un
, (?) avec ? polynôme irréductible de a sur K, la famille A est composée d'une famille admissible continue C = µ ? ??A telle que les polynômes ? ? sont de degré un et de la pseudo-valuation µ, où µ est obtenue comme valuation augmentée-limite de la famille
, Si la famille A associéeà la valuation, ou pseudo-valuation µ contient un couple de valuations successives (µ i?1 , µ i ), c'est-à-dire telle que la valuation µ i est obtenue comme valuation augmentée µ i = [µ i?1 ; µ i (? i ) = ? i ], nous déduisons de la proposition 2.5 et de la démonstration de la proposition 2.9 de
, et où ? i?1 et ? i sont les polynômes définissant les valuations µ i?1 et µ i . En particulier si l'extension (L, ? L )/(K, ?) est immédiate nous en déduisons que pour tout couple de valuations successives (µ i?1 , µ i ) de la famille A nous avons l'égalité deg? i = deg? i?1 , par conséquent que la famille ne contient pas de partie discrète . Dans le cas où la valuation µ n'est pas bien spécifiée, la famille admise A associéeà µ est ouverte, elle est constituée d'une seule famille simple S qui est de la forme S = (µ ? ) ??A , avec ? (µ ? ) ??A = ? (cf, où nous notons respectivement e(? L /?) et f (? L /?) l'indice de ramification et le degré de l'extension résiduelle de
, Dans le cas où la valuation µ est bien spécifiée, µ est une pseudo-valuation obtenue comme valuation augmentée limite de la famille continue S = (µ ? ) ??A
, Soit (L, ? L ) une extension immédiate monogène de (K, ?) et soit C =, vol.8
, Si le polynôme f n'appartient pasà l'ensemble? C il existe ? dans A tel que pour tout ? ? ? nous ayons µ ? (f ) = µ ? (f ) = ? L (f ), c'est-à-dire tels que f n'est pas µ ? -divisible par ? ?
, Nous pouvons déduire de ce qui précède les résultats suivants, qui sont des reformulations des théorèmes 2 et 3 de
, Soit (L, ? L ) une extension immédiate monogène de (K, ?) et soit a ? ??A la famille pseudo-convergente associée, vol.9
, Nous sommes dans le cas d'une extension transcendante si et seulement si l'ensembl? ? C est vide, c'est-à
, Alors si ? est un polynôme vérifiant ?(f (a ? )) > ?(f (a ? )) de degré minimal, l'extension L est l'extension L = K(z) où z est une racine du polynôme ?. De plus pour tout y dans L il existe r(x) dans K, vol.10
, Nous sommes dans le cas d'une extension algébrique si et seulement si l'ensemble? C est non vide, tout polynôme unitaire ? de degré minimal dans? C est un polynôme-clé limite
, par conséquent r n'appartient pasà? C et nous trouvons ? L (y) = µ(r) = µ ? (r) pour ? assez grand, Rev. Roum. Math. Pures Appl, vol.33, pp.393-400, 1988.
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, France Email address: vaquie@math.univ-toulouse