Branched Cartan geometries : equivalence problem and symetries

Géométries de Cartan branchées : problème d'équivalence et symétries

Alexis Garcia (1)

1 LJAD - Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné

The goal of this thesis is to obtain results of classification of complex compact manifolds equipped with some rigid meromorphic geometric structures (in the sens of M. Gromov). To this end, we use a result proved by S. Dumitrescu, stating that a such geometric structure is quasihomogeneous in the case that the base manifold has only constant meromorphic functions. The quasi-homogeneity ensures the existence of a family of germs of infinitesimal symetries for the structure, whose evaluations at a point of the base manifold span its tangent space.In the holomorphic case, on a simply connected base manifold, the germs of infinitesimal symetries as above are the restrictions of global infinitesimal symetries of the structure. These infinitesimal symetries are the infinitesimal generator for the action of a complex Lie group acting by symetries on the structure.In the meromorphic case, this prolongation property is only satisfied in the complementary of the pole of the structure. In the last chapter, we give sufficient geometric conditions to obtain the univaluatedness of the infinitesimal symetries. The main tool for the proof is the study of the meromorphic Cartan geometries, which corresponds to the former structures through the equivalence problem. The meromorphic analog of the equivalence problem for some geometric structures is studied in the second chapter. The result on the infinitesimal symetries is applied to the classification of meromorphic affine connections on simply connected compact complex manifolds.

L'objectif final de cette thèse est d'obtenir des résultats de classification des variétés complexes compactes admettant certaines structures géométriques méromorphes rigides (au sens de M. Gromov). Nous nous appuyons sur un résultat de S. Dumitrescu qui énonce leur quasi-homogénéité lorsque les fonctions méromorphes de la variété support sont les constantes. La quasi-homogénéité assure l'existence d'une famille de germes de symétries infinitésimales dont l'évaluation en un point engendre l'espace tangent de la variété support.Dans le cas holomorphe, et sur une variété simplement connexe, les germes de symétries infinitésimales indépendants ainsi obtenus se prolongent en des symétries infinitésimales globales. Elles s’intègrent en l'action d'un groupe de Lie par symétries de la structure.Dans le cas méromorphe, cette propriété de prolongation n'est satisfaite qu'en dehors du pole de la structure, et les symétries infinitésimales peuvent donc être multivaluées. Nous donnons dans le dernier chapitre des conditions géométriques suffisantes pour retrouver le caractère univalué de ces symétries infinitésimales. L'outil central est l'étude des géométries de Cartan méromorphes qui leurs correspondent via le problème d'équivalence, dont l'analogue méromorphe est étudié pour certaines structures dans le second chapitre. Le résultat sur les symétries infinitésimales est appliqué à la classification des connexions affines méromorphes sur les variétés complexes compactes simplement connexes.

Mots clés: Cartan geometries; Lie groups and algebras; Meromorphic geometric structures; Complex manifolds; Equivalence problem; Meromorphic affine connections

Mots clés: Géométrie de Cartan; Groupes et algèbre de Lie; Structures géométriques méromorphes; Variétés complexes; Connexions affines méromorphes; Problème d'équivalence

Domaines: Géométrie différentielle [math.DG]

Alexis Garcia. Géométries de Cartan branchées : problème d'équivalence et symétries. Géométrie différentielle [math.DG]. Université Côte d'Azur, 2022. Français. ⟨NNT : 2022COAZ4046⟩. ⟨tel-03850849⟩